matematika

Irisan Kerucut

02.25 | by Januar Ivan

Terdapat 4 macam irisan kerucut: lingkaran, parabola,elips, hiperbola

Definisi

Lingkaran
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.

Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran
Jarak yang sama itu disebut jari-jari/radius (r)

Luas lingkaran = π.r² (r = jari-jari)
Contoh gambar:
Lingkaran dengan pusat (0, 0) dan jari-jari 2

Parabola
Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik dan sebuah garis tertentu.

Titik itu disebut fokus/titik api (F)
Garis tertentu itu disebut garis direktris/garis arah
Garis yang melalui F dan tegak lurus dengan garis arah disebut sumbu simetri parabola
Titik potong parabola dengan sumbu simetri disebut puncak parabola
Tali busur terpendek yang melalui F disebut Latus Rectum → tegak lurus dengan sumbu simetri

Contoh gambar:
Parabola horisontal dengan puncak (0,0), fokus (1, 0), dan garis arah x = –1

Parabola vertikal dengan puncak (0,0), fokus (0, 1), dan garis arah y = –1

Elips
(1) Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap 2 titik tertentu tetap.

Jumlah jarak itu = 2a (untuk elips horisontal) atau 2b (untuk elips vertikal)
Kedua titik tetap itu disebut fokus (F) → jarak antara F₁ dan F₂ adalah 2c

(2) Elips adalah tempat kedudukan semua titik yang perbandingan jaraknya terhadap sebuah titik dan sebuah garis tetap = e (eksentrisitet), dimana 0 < e < 1

Titik itu adalah fokus (F), dan garis itu adalah garis arah.
Ruas garis yang melalui kedua fokus dan memotong elips disebut sumbu mayor
Pusat elips adalah titik tengah F₁ dan F₂
Ruas garis yang melalui pusat, tegak lurus sumbu mayor dan memotong elips disebut sumbu minor

Luas Elips = π.a.b (a = ½ panjang horisontal; b = ½ panjang vertikal)
Contoh gambar:
Elips horisontal dengan pusat (0, 0), puncak-puncak (5, 0), (–5, 0), (0, 4), (0, –4), fokus (3, 0), (–3, 0), dan garis arah x = ±25/3

Elips vertikal dengan pusat (0, 0), puncak-puncak (√2, 0), (–√2, 0), (0, 2), (0, –2), fokus (0,√2), (0, –√2), dan garis arah y = ±2√2/3

Hiperbola
(1) Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap 2 titik tertentu tetap

Selisih jarak itu = 2a (untuk elips horisontal) atau 2b (untuk elips vertikal)
Kedua titik tetap itu disebut fokus (F) → jarak antara F₁ dan F₂ adalah 2c

(2) Hiperbola adalah tempat kedudukan semua titik yang perbandingan jaraknya terhadap sebuah titik dan sebuah garis tetap = e , dimana e > 1

Titik-titik tertentu itu disebut fokus (F₁ dan F₂)
Garis yang melalui titik-titik F₁ dan F₂ disebut sumbu transvers (sumbu utama)/ sumbu nyata
Titik tengah F₁ dan F₂ disebut pusat hiperbola (P)
Garis yang melalui P dan tegak lurus sumbu transvers disebut sumbu konjugasi (sumbu sekawan)/ sumbu imajiner
Titik-titik potong hiperbola dan sumbu transvers disebut puncak hiperbola
Garis yang melalui fokus dan tegak lurus pada sumbu nyata dan memotong hiperbola di 2 titik → ruas garis penghubung kedua titik tersebut = Latus Rectum

Contoh gambar:
Hiperbola horisontal dengan pusat (0, 0), puncak (2, 0), (–2, 0), fokus (√6, 0), (–√6, 0), dan asimtot y = ± ½√2 x

Hiperbola vertikal dengan pusat (0, 0), puncak (√2, 0), (–√2, 0), fokus (0, √6), (0, –√6), dan asimtot y = ± ½√2 x

Persamaan

Tips!
Cara membedakan persamaan-persamaan irisan kerucut:

Pada persamaan Lingkaran: koefisien x² dan y² sama
Pada persamaan Parabola: hanya salah satu yang bentuknya kuadrat (x² saja atau y² saja)
Pada persamaan Elips: koefisien x² dan y² bertanda sama (sama-sama positif atau sama-sama negatif)
Pada persamaan Hiperbola: koefisien x² dan y² berbeda tanda (salah satu positif, yang lain negatif)

Contoh:

3x² + 3y² + 6x + y = 5 → Persamaan Lingkaran
3x² + 3y + 6x = 5 → Persamaan Parabola
3x² + y² + 6x + y = 5 → Persamaan Elips
3x² – 3y² + 6x + y = 5 → Persamaan Hiperbola

Kedudukan Titik terhadap Irisan Kerucut

Cara mencari kedudukan titik terhadap kerucut:

Jadikan ruas kanan pada persamaan irisan kerucut = 0
Masukkan koordinat titik pada persamaan:

→ Jika hasil ruas kiri < 0 → titik berada di dalam irisan kerucut

→ Jika hasil ruas kiri = 0 → titik berada tepat pada irisan kerucut tersebut

→ Jika hasil ruas kanan > 0 → titik berada di luar irisan kerucut

Contoh:
Tentukan kedudukan titik (5, –1) terhadap elips dengan persamaan 3x² + y² + 6x + y = 5
Cara:
3x² + y² + 6x + y – 5 = 0
Ruas kiri: 3.5² + (–1)² + 6.5 + (–1) – 5 = 75 + 1 + 30 – 1 – 5 =100
→ 100 > 0, jadi titik (5, –1) berada di luar elips tersebut

Kedudukan Garis terhadap Irisan Kerucut

Cara mencari kedudukan garis terhadap irisan kerucut:

Persamaan garis dijadikan persamaan x = … atau y = …
Substitusikan persamaan garis itu pada persamaan irisan kerucut, sehingga menghasilkan suatu persamaan kuadrat.
Hitung nilai Diskriminan (D) dari persamaan kuadrat tersebut (Ingat! D = b² – 4.a.c)

→ Jika D < 0 → garis berada di luar irisan kerucut

→ Jika D = 0 → garis menyinggung irisan kerucut di 1 titik

→ Jika D > 0 → garis memotong irisan kerucut di 2 titik

Contoh:
Tentukan kedudukan garis x + 2y = 4 terhadap parabola dengan persamaan 3x² + 3y + 6x = 5
Cara:
Garis: x = 4 – 2y
3(4 – 2y)² + 3y + 6(4 – 2y) – 5 = 0
3(16 – 16y + 4y²) + 3y + 24 – 12y – 5 = 0
48 – 48y + 12y² + 3y + 24 – 12y – 5 = 0
12y² – 57y + 67 = 0
D = b² – 4.a.c = (–57)² – 4.12.67 = 33
Karena D > 0 maka garis x + 2y = 4 memotong parabola tersebut

Persamaan Garis Singgung

Persamaan garis singgung dengan gradien m

Persamaan garis singgung pada titik (x₁, y₁)
→ selalu gunakan sistem bagi adil:

(…)² menjadi (…).(…)

(…) menjadi ½ (…) + ½ (…)

Pada salah satu (…) akan dimasukkan koordinat titik yang diketahui

→ masukkan titik ke persamaan hasil bagi adil

Jika titik terletak pada irisan kerucut, akan menghasilkan persamaan garis singgung
Jika titik terletak di luar irisan kerucut, akan menghasilkan persamaan garis polar

Potongkan garis polar dengan irisan kerucut untuk mendapatkan 2 titik potong
Masukkan kedua titik potong itu ke dalam persamaan hasil bagi adil untuk mendapatkan 2 buah persamaan garis singgung

Contoh 1:
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² + 4x = 13 pada titik (2, 1)
Cara:
(2, 1) terletak pada lingkaran (2² + 1² + 4.2 = 13)
Persamaan bagi adil:
x₁.x + y₁.y + 2.x₁ + 2.x = 9
Masukkan (2, 1) sebagai x₁ dan y₁:
2.x + 1.y + 2.2 + 2.x = 9
4x + y – 5 = 0 → persamaan garis singgung

Contoh 2:
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² + 4x = 13 pada titik (4, 1)
Cara:
(4, 1) terletak di luar lingkaran (4² + 1² + 4.4 = 33 > 16)
Persamaan bagi adil:
x₁.x + y₁.y + 2.x₁ + 2.x = 9
Masukkan (4, 1) sebagai x₁ dan y₁:
4.x + 1.y + 2.4 + 2.x = 9
6x + y – 1 = 0 → persamaan garis polar
y = 1 – 6x
Substitusikan persamaan garis polar ke dalam persamaan lingkaran:
x² + (1 – 6x)² + 4x – 13 = 0
x² + 1 – 12x + 36x² + 4x – 13 = 0
37x² – 8x – 12 = 0
Gunakan rumus abc:

Masukkan (x₁, y₁) dan (x₂, y₂) ke dalam persamaan hasil bagi adil

Suku Banyak

02.03 | by Januar Ivan

Bentuk Umum:

a_nxⁿ + a_{n – 1} x^{n – 1} + a_{n – 2} x^{n – 2} + … + … a₂x² + a₁x + a₀
n = derajat suku banyak
a₀ = konstanta
a_n, a_{n – 1}, a_{n – 2}, … = koefisien dari xⁿ, x^{n – 1}, x^{n – 2}, …

Pembagian Suku Banyak

Bentuk Umum

F(x) = P(x).H(x) + S(x)

F(x) = suku banyak
P(x) = pembagi
H(x) = hasil bagi
S(x) = sisa
Teorema Sisa:
Jika suatu suku banyak F(x) dibagi oleh (x – k) maka sisanya adalah F(k)
Jika pembagi berderajat n maka sisanya berderajat n – 1
Jika suku banyak berderajat m dan pembagi berderajat n, maka hasil baginya berderajat m – n
Cara Pembagian Suku Banyak
Contoh:
F(x) = 2x³ – 3x² + x + 5 dibagi dengan P(x) = 2x² – x – 1
1. Pembagian biasa

Jadi hasil baginya: H(X) = x – 1, sisanya S(x) = x + 4
2. Cara Horner/Skema
bisa digunakan untuk pembagi berderajat 1 atau pembagi yang dapat difaktorkan menjadi pembagi-pembagi berderajat 1
Cara:

Tulis koefisiennya saja → harus runtut dari koefisien xⁿ, x^{n – 1}, … hingga konstanta (jika ada variabel yang tidak ada, maka koefisiennya ditulis 0)

Contoh: untuk 4x³ – 1, koefisien-koefisiennya adalah 4, 0, 0, dan -1 (untuk x³, x², x, dan konstanta)

Jika koefisien derajat tertinggi P(x) ≠ 1, maka hasil baginya harus dibagi dengan koefisien derajat tertinggi P(x)
Jika pembagi dapat difaktorkan, maka:

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P₁ dan P₂, maka S(x) = P₁.S₂ + S₁

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P₁, P₂, P₃, maka S(x) = P₁.P₂.S₃ + P₁.S₂ + S₁

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P₁, P₂, P₃, P₄, maka S(x) = P₁.P₂.P₃.S₄ + P₁.P₂.S₃ + P₁.S₂ + S₁

dan seterusnya

Untuk soal di atas,
P(x) = 2x² – x – 1 = (2x + 1)(x – 1)
P₁: 2x + 1 = 0 → x = –½
P₂: x – 1 = 0 → x = 1
Cara Hornernya:

H(x) = 1.x – 1 = x – 1
S(x) = P₁.S₂ + S₁ = (2x + 1).1/2 + 7/2 = x + ½ + 7/2 = x + 4
3. Cara koefisien tak tentu
F(x) = P(x).H(x) + S(x)
Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka
H(x) berderajat 3 – 2 = 1
S(x) berderajat 2 – 1 = 1
Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = cx + d
Maka:
2x³ – 3x² + x + 5 = (2x² – x – 1).(ax + b) + (cx + d)
Ruas kanan:
= 2ax³ + 2bx² – ax² – bx – ax – b + cx + d
= 2ax³ + (2b – a)x² + (–b – a + c)x + (–b + d)
Samakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan:
x³ → 2 = 2a → a = 2/2 = 1
x² → –3 = 2b – a → 2b = –3 + a = –3 + 1 = –2 → b = –2/2 = –1
x → 1 = –b – a + c → c = 1 + b + a = 1 – 1 + 1 → c = 1
Konstanta → 5 = –b + d → d = 5 + b = 5 – 1 → d = 4
Jadi:
H(x) = ax + b = 1.x – 1 = x – 1
S(x) = cx + d = 1.x + 4 = x + 4

Teorema Faktor

Suatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x – k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x – k) adalah 0)
Catatan: jika (x – k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x)
Tips:

Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstantanya ang akan memberikan sisa = 0
Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1
Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka pasti salah satu akarnya adalah x = –1

Contoh:
Tentukan penyelesaian dari x³ – 2x² – x + 2 = 0
Faktor-faktor dari konstantanya, yaitu 2, adalah ±1 dan ±2
Karena jumlah seluruh koefisien + konstantanya = 0 (1 – 2 – 1 + 2 = 0), maka, pasti x = 1 adalah salah satu faktornya, jadi:

Jadi x³ – 2x² – x + 2 = (x – 1)(x² – x – 2)
= (x – 1)(x – 2)(x + 1)
x = 1 x = 2 x = –1
Jadi himpunan penyelesaiannya: {–1, 1, 2}

Sifat Akar-Akar Suku Banyak

Pada persamaan berderajat 3:
ax³ + bx² + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x₁, x₂, x₃
dengan sifat-sifat:

Jumlah 1 akar: x₁ + x₂ + x₃ = – b/a
Jumlah 2 akar: x₁.x₂ + x₁.x₃ + x₂.x₃ = c/a
Hasil kali 3 akar: x₁.x₂.x₃ = – d/a

Pada persamaan berderajat 4:
ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x₁, x₂, x₃, x₄
dengan sifat-sifat:

Jumlah 1 akar: x₁ + x₂ + x₃ + x₄= – b/a
Jumlah 2 akar: x₁.x₂ + x₁.x₃ + x₁.x₄ + x₂.x₃ + x₂.x₄ + x₃.x₄ = c/a
Jumlah 3 akar: x₁.x₂.x₃ + x₁.x₂.x₄ + x₂.x₃.x₄ = – d/a
Hasil kali 4 akar: x₁.x₂.x₃.x₄ = e/a

Dari kedua persamaan tersebut, kita dapat menurunkan rumus yang sama untuk persamaan berderajat 5 dan seterusnya
(amati pola: –b/a, c/a, –d/a , e/a, …)

Pembagian Istimewa

Fungsi

02.02 | by Januar Ivan

Pasangan terurut

Contoh:
A = {1, 2, 3}, B = {4, 5}
Himpunan semua pasangan terurut dari A dan B adalah:
{(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

Relasi
Relasi adalah himpunan dari pasangan terurut ang memenuhi aturan tertentu
Contoh:
A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4}
Jika ada relasi R dari A ke B dengan aturan ”faktor dari”, maka himpunan pasangan terurut untuk relasi tersebut adalah:
R = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (4, 4)}
Diagram panahnya:

Fungsi
Fungsi dari A ke B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan A ke hanya satu anggota himpunan B
Notasi fungsi f dari A ke B ditulis f : A → B
A disebut domain (daerah asal)
B disebut kodomain (daerah kawan)
Himpunan bagian dari B yang merupakan hasil dari fungsi A ke B disebut range (daerah hasil)
Fungsi juga dapat dinyatakan dengan lambang f : x → y = f(x)
dimana y = f(x) adalah rumus fungsi dengan x sebagai variabel bebas dan y sebagai variabel terikat (tak bebas)
Contoh:

Untuk fungsi yang digambarkan dalam diagram panah di atas:
Domain = D_f = {1, 2, 3, 4}
Range = R_f = {2, 4}

Menentukan Daerah Asal Fungsi

Agar suatu fungsi terdefinisi (mempunyai daerah hasil di himpunan bilangan real), maka ada beberapa syarat yang harus dipenuhi.
1. Fungsi di dalam akar

2. Fungsi pecahan

3. Fungsi dimana penyebutnya adalah fungsi lain dalam bentuk akar

4. Fungsi logaritma

Contoh:
Daerah asal untuk fungsi

adalah:
x² + 3x – 4 > 0
(x + 4)(x – 1) > 0
Pembuat nol: x = –4 dan x = 1
Jika x = 0 maka hasilnya 0² + 3.0 – 4 = –4 (negatif)

Jadi D_f = {x | x < –4 atau x > 1}

Aljabar Fungsi

Jika f : x → f(x) dan g : x → g(x) maka:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
(f × g)(x) = f(x) × g(x)

Daerah asalnya:
D_f+g, D_f–g, D_f×_g = D_f ∩ D_g (irisan dari D_f dan D_g)
D_f/g = D_f ∩ D_g dan g(x) ≠ 0

Komposisi fungsi

Notasi:
f komposisi g dapat dinyatakan dengan f o g (dapat juga dibaca ”f bundaran g”)
(f o g)(x) = f(g(x)) (g dimasukkan ke f)
Ilustrasi:

Contoh: f(1) = 2, g(2) = 0, maka (g o f )(1) = g(f(1)) = g(2) = 0
Sifat-Sifat Komposisi Fungsi
1. Tidak bersifat komutatif

(f o g)(x) ≠ (g o f)(x)

2. Asosiatif

(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)

3. Terdapat fungsi identitas I(x) = x

(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)

Contoh 1:
f(x) = 3x + 2
g(x) = 2x + 5
h(x) = x² – 1
Cari (f o g)(x), (g o f)(x), dan (f o g o h)(x)!
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 5)
= 3(2x + 5) + 2
= 6x + 15 + 2 = 6x + 17
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(3x + 2)
= 2(3x + 2) + 5
= 6x + 4 + 5 = 6x + 9
(f o g o h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x² – 1))
= f(2(x² – 1) + 5)
= f(2x² – 2 + 5)
= f(2x² + 3)
= 3(2x² + 3) + 2
= 6x² + 9 + 2 = 6x² + 11
atau dengan menggunakan rumus (f o g)(x) yang sudah diperoleh sebelumnya,
(f o g o h)(x) = (f o g)(h(x)) = (f o g)(x² – 1)
= 6(x² – 1) + 17
= 6x² – 6 + 17
= 6x² + 11

Contoh 2:
f(x) = 3x + 2
(f o g)(x) = 6x + 17
Cari g(x)!
(f (g(x)) = 6x + 17
3.g(x) + 2 = 6x + 17
3.g(x) = 6x + 17 – 2
3.g(x) = 6x + 15
g(x) = 2x + 5

Contoh 3:
g(x) = 2x + 5
(f o g)(x) = 6x + 17
Cari f(x)!
f(2x + 5) = 6x + 17
misalkan: 2x + 5 = a → 2x = a – 5
f(a) = 3(a – 5) + 17
f(a) = 3a – 15 + 17
f(a) = 3a + 2
f(x) = 3x + 2

Contoh 4:
f(x) = x² + 2x + 5
(f o g)(x) = 4x² – 8x + 8
Cari g(x)!
f(g(x)) = 4x² – 8x + 8
(g(x))² + 2g(x) + 5 = 4x² – 8x + 8
Gunakan cara melengkapkan kuadrat sempurna
(g(x) + 1)² – 1 + 5 = 4x² – 8x + 8
(g(x) + 1)² = 4x² – 8x + 8 – 4
(g(x) + 1)² = 4x² – 8x + 4
(g(x) + 1)² = (2x – 2)²
g(x) + 1 = 2x – 2 atau g(x) + 1 = –(2x – 2)
g(x) = 2x – 3 atau g(x) = –2x + 3
atau
f(g(x)) = 4x² – 8x + 8
(g(x))² + 2g(x) + 5 = 4x² – 8x + 8
Karena pangkat tertinggi di ruas kanan = 2, maka misalkan g(x) = ax + b
(ax + b)² + 2(ax + b) + 5 = 4x² – 8x + 8
a²x² + 2abx + b² + 2ax + 2ab + 5 = 4x² – 8x + 8
a²x² + (2ab + 2a)x + (b² + 2ab + 5) = 4x² – 8x + 8
Samakan koefisien x² di ruas kiri dan kanan:
a² = 4 → a = 2 atau a = –2
samakan koefisien x di ruas kiri dan kanan:
untuk a = 2 → 2ab + 2a = –8
4b + 4 = –8
4b = –12 → b = –3
untuk a = –2 → 2ab + 2a = –8
–4b + 4 = –8
–4b = –12 → b = 3
Jadi g(x) = 2x – 3 atau g(x) = –2x + 3

Invers Fungsi

Notasi
Invers dari fungsi f(x) dilambangkan dengan f^–1 (x)

Ilustrasi

Contoh: Jika f(2) = 1 maka f^–1(1) =2
Jika digambar dalam koordinat cartesius, grafik invers fungsi merupakan pencerminan dari grafik fungsinya terhadap garis y = x

Sifat-Sifat Invers Fungsi:

(f^–1)^–1(x) = f(x)
(f o f^–1)(x) = (f^–1 o f)(x) = I(x) = x, I = fungsi identitas
(f o g)^–1(x) = (g^–1 o f^–1)(x)

Ingat: (f o g^–1)(x) ¹ (f o g)^–1(x)

Mencari invers fungsi

Nyatakan persamaan fungsinya y = f(x)
Carilah x dalam y, namai persamaan ini dengan x = f^–1(y)
Ganti x dengan y dan y dengan x, sehingga menjadi y = f^–1(x), yang merupakan invers fungsi dari f

Contoh 1:
f(x) = 3x – 2
invers fungsinya:

Contoh 2:

Cara Cepat!

Contoh 3:
f(x) = x² – 3x + 4
Invers fungsinya

Contoh 4:

Limit Fungsi

02.00 | by Januar Ivan

Pengertian tentang limit dapat diperoleh dengan melihat contoh berikut ini.
Contoh: Perhatikan fungsi

untuk nilai x yang mendekati 1

x	0	0,9	0,95	0,98	…	1,0001	1,0005	1,05	1,1
f(x)	1	1,9	1,95	1,98	…	2,0001	2,0005	2,05	2,1

Gambar grafiknya:

Dari gambar dan tabel dapat disimpulkan:
→ Jika x mendekati 1 dari kiri, maka nilai f(x) mendekati 2

→ Jika x mendekati 1 dari kanan, maka nilai f(x) mendekati 2

→ Jadi, jika x mendekati 1, maka nilai f(x) mendekati 2

Teorema:

Jika limit kiri dan limit kanan tidak sama, maka nilai limitnya tidak ada

Hasil limit tidak boleh bentuk tak tentu:

Sifat-Sifat Limit

Cara Penyelesaian Limit dengan Perhitungan:

1. Substitusi langsung
Contoh:

2. Pemfaktoran (biasanya untuk bentuk 0/0)
Contoh:

Ingat:

(a² – b²) = (a – b)(a + b)

(a³ + b³) = (a + b)(a² – ab + b²)

(a³ – b³) = (a – b)(a² + ab + b²)

3. Dikali sekawan (jika ada bentuk akar)
Contoh:

4. Untuk limit tak terhingga:
→ Jika bentuknya sudah pecahan: dibagi pangkat tertinggi
→ Jika bentuknya belum pecahan: dikali sekawan, baru dibagi pangkat tertinggi
Sifat operasi dengan ∞:

Contoh:

Cara cepat!
→ Untuk bentuk pecahan:

Jika pangkat pembilang (atas) > penyebut (bawah), hasil =∞
Jika pangkat pembilang (atas) < penyebut (bawah), hasil =0
Jika pangkat pembilang (atas) = penyebut (bawah), hasil =koefisien pangkat tertinggi atas : koefisien pangkat tertinggi bawah

Contoh 1:

Contoh 2:

Contoh 3:

→ Untuk bentuk

Contoh:

5. Limit trigonometri:

Untuk cosinus:
1 – cos ax = 2 sin²½ ax (dari rumus cos 2x)
cos ax – 1 = –2 sin² ½ ax (dari rumus cos 2x)
1 – cos²ax = sin²ax (dari sin²x + cos²x = 1)

Bilangan e

Bilangan e didapat dari:

e = 2,718281828…

Rumus-rumus pengembangannya:

Kontinuitas

Suatu fungsi kontinu di x = a jika:
1. f(a) ada (dapat dihitung/real)
2.

Ilustrasi:

Fungsi

Pengertian

Pasangan terurut
Contoh:
A = {1, 2, 3}, B = {4, 5}
Himpunan semua pasangan terurut dari A dan B adalah:
{(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

Relasi
Relasi adalah himpunan dari pasangan terurut ang memenuhi aturan tertentu
Contoh:
A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4}
Jika ada relasi R dari A ke B dengan aturan ”faktor dari”, maka himpunan pasangan terurut untuk relasi tersebut adalah:
R = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (4, 4)}
Diagram panahnya:

Untuk fungsi yang digambarkan dalam diagram panah di atas:
Domain = D_f = {1, 2, 3, 4}
Range = R_f = {2, 4}