Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri

Persamaan Dasar

sin x = sin a                  
x = a + k.360° atau x = (180 – a) + k.360° (kuadran I atau II)
cos x = cos a
x = a + k.360° atau x = –a + k.360° (kuadran I atau IV)
tan x = tan a
x = a + k.180
*k = bilangan bulat
Catatan:
Jika ada persamaan cos x = sin a, cot x = tan a, sec x = cosec a, dan sebaliknya, salah satu diubah menjadi (90 – a)°,
contoh: cos x = sin a → cos x = cos (90 – a)°
Contoh:
  • Tentukan HP (Himpunan Penyelesaian) dari 2 cos x – √3 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 360°
2 cos x = √3
cos x = ½ √3
cos x = cos 30°
x = 30° + k.360°              atau                        x = (180 – 30)° + k.360°
k = 0 → x = 30°                                                 x = 150° + k.360°
k = 1 → x = 390° (tidak memenuhi)         k = 0 → x = 150°
Jadi HP = {30°, 150°}
  • Tentukan HP dari tan (60 – ½ x)° = cot (x + 120)° untuk 0 ≤ x ≤ 360°
tan (60 – ½ x)° = tan (90 – (x + 120))°
tan (60 – ½ x)° = tan (–x – 30)°
60° – ½ x = –x – 30° + k.180°
x – ½ x = –30° – 60° + k.180°
½ x = –90° + k.180°
x = –180° + k.360°
k = 1 → x = 180°
Jadi HP = {180°}

Persamaan bentuk a cos nx + b sin nx

a cos nx + b sin nx diubah menjadi k cos(nx – α)
dimana
Selanjutnya diselesaikan seperti menyelesaikan persamaan dasar cos x = cos a
Penentuan letak α:
  • Jika a +, b + → α di kuadran I
  • Jika a –, b + → α di kuadran II
  • Jika a –, b – → α di kuadran III
  • Jika a +, b – → α di kuadran IV
Untuk persamaan a cos nx + b sin nx = c, syarat agar persamaan ini dapat diselesaikan:
Dan agar persamaan ini tidak dapat diselesaikan:

Persamaan bentuk a cos2x + b sin x.cos x + c sin2x = d

Caranya, lakukan dengan mengubah unsur-unsurnya seperti berikut ini:
Selanjutnya persamaan diselesaikan seperti menyelesaikan persamaan a cos nx + b sin nx = c

Persamaan bentuk a(cos x ± sin x) + b sin x.cos x + c = 0

Caranya:
Misalkan (cos x ± sin x) = p
maka
(cos x ± sin x)2 = p2
cos2x ± 2 sin x.cos x + sin2x = p2
1 ± 2 sin x.cos x = p2
± 2 sin x.cos x = p2 – 1
Sehingga 2 sin x.cos x = ± ½ (p2 – 1)
Sehingga persamaan di atas akan menjadi persamaan kuadrat:
a.p ± ½ b(p2 – 1) + c = 0
Selesaikan dengan cara pemfaktoran atau rumus abc untuk mendapatkan nilai p, kemudian persamaan cos x ± sin x = p dapat diselesaikan dengan cara seperti menyelesaikan persamaan a cos nx + b sin nx = c

Nilai ekstrim y = a cos nx + b sin nx + c


Pertidaksamaan Trigonometri

→ mencari harga nol sama dengan cara menyelesaikan persamaan trigonometri
→ diselesaikan dengan menggunakan garis bilangan
Contoh:
Selesaikan sin 2x < cos x  untuk 0 ≤ x ≤ 360°
Cara:
sin 2x – cos x < 0
2 sin x.cos x – cos x < 0
cos x.(2 sin x – 1) < 0
harga nol:
  • cos x = 0
cos x = cos 90°
x = 90° + k.360°      atau      x = –90° + k.360°
k = 0 → x = 90°                        k = 1 → x = 270°
  • 2 sin x – 1 = 0
2 sin x = 1
sin x = ½
sin x = sin 30°
x = 30° + k.360°        atau      x = (180 – 30)° + k.360°
k = 0 → x = 30°                         x = 150° + k.360°
                                                           k = 0 → x = 150°
Memberi tanda (+) dan (-) pada garis bilangan:
Jika x = 180° maka sin 2.180° – cos 180° = sin 360° – cos 180° = 0 – (–1) = 1 (+)
Jadi garis bilangannya:

karena yang diminta kurang dari (<) 0, maka yang diarsir adalah bagian-bagian yang bertanda (-)
Sehingga HP-nya: {0° ≤ x < 30° atau 90° < x < 150° atau 270° < x ≤ 360°}
2 Responses
  1. min yang Tentukan HP dari tan (60 – ½ x)° = cot (x + 120)° untuk 0 ≤ x ≤ 360°
    tan (60 – ½ x)° = tan (90 – (x + 120))°
    tan (60 – ½ x)° = tan (–x – 30)°
    60° – ½ x = –x – 30° + k.180°
    x – ½ x = –30° – 60° + k.180°
    ½ x = –90° + k.180°
    x = –180° + k.360°
    k = 1 → x = 180°
    Jadi HP = {180°}


    itu tan nya di kuadran 1 ya? kalo untuk di kuadran 2,3,4 juga sama?


  2. kalau buat sec dan cosec gm ya min?