Sifat Akar Persamaan Kuadrat

Sifat akar-akar persamaan kuadrat

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka:
x1 + x2 = –b/a
x1.x2 = c/a
|x1 – x2| = –D/a
(Ingat! D = b2 – 4.a.c)

Bentuk simetri akar-akar persamaan kuadrat

Jumlah kuadrat akar-akar:
x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2.x1.x2
Jumlah pangkat tiga akar-akar:
x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3.x1.x2.(x1 + x2)
Jumlah pangkat empat akar-akar:
x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2.x12.x22
Jumlah kebalikan akar-akar:

Jumlah kuadrat kebalikan akar-akar:

Selisih kuadrat akar-akar:
x12 – x22 = (x1 + x2).(x1 – x2) dimana x1 > x2

Hubungan Jenis Akar-akar PK dengan Nilai Diskriminan (D)

  • Jika D > 0 maka PK mempunyai 2 akar real yang berlainan
→ D = bilangan kuadrat berarti akar-akarnya rasional
→ D bukan bilangan kuadrat berarti akar-akarnya irasional
  • Jika D = 0 maka PK m,empunyai 1 akar real atau akar-akarnya kembar
  • Jika D ≥ 0 maka PK mempunyai 2 akar real/nyata
  • Jika D < 0 maka PK tidak mempuyai akar real / akar-akarnya imajiner
  • Jika kedua akar positif (x1 > 0, x2 > 0)
D ≥ 0
x1 + x2 > 0
x1.x2 > 0
  • Jika kedua akar negatif (x1 < 0 dan x2 < 0)
D ≥ 0
x1 + x2 < 0
x1.x2 > 0
  • Jika kedua akar berlainan tanda (1 positif, 1 negatif)
D > 0
x1.x2 < 0
  • Jika kedua akar bertanda sama (sama-sama positif/sama-sama negatif)
D ≥ 0
x1.x2 > 0
  • Jika kedua akar saling berlawanan (x1 = –x2)
D > 0
b = 0 (diperoleh dari x1 + x2 = 0)
x1.x2 < 0
  • Jika kedua akar saling berkebalikan (x1 = 1/x2)
D > 0
c = a
Contoh 1:
Tentukan nilai m agar x2 + 4x + (m – 4) = 0 mempunyai 2 akar real
D ≥ 0
b2 – 4ac ≥ 0
42 – 4.1.(m – 4) ≥ 0
16 – 4m + 16 ≥ 0
–4m ≥ –16 – 16
Semua dibagi –4
(Ingat! Jika dibagi atau dikali bilangan negatif tanda pertidaksamaan dibalik)
m ≤ 4 + 4
m ≤ 8






Contoh 2:
Tentukan nilai n agar akar-akar PK x2 + (2n + 2)x + 5 – n = 0 bertanda sama
Syarat 1
D ≥ 0
b2 – 4ac ≥ 0
(2n + 2)2 – 4.1.(5 – n) ≥ 0
4n2 + 8n + 4 – 20 + 4n ≥ 0
4n2 + 12n – 16 ≥ 0
Semua dibagi 4:
n2 + 3n – 4 ³ 0
(n + 4).(n – 1) ³ 0
Pembuat nol: n = –4 atau n = 1
Syarat 2:
x1.x2 > 0

Gambar garis bilangan:

Jadi: HP = {n | n ≤ –4 atau 1 ≤ n < 5}

Menyusun PK

PK dengan akar-akar x1 dan x2 adalah:
x2 – (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0
dengan kata lain:
x2 – (jumlah akar-akar)x + (hasil kali akar-akar) = 0
Contoh 1:
Tentukan PK yang mempunyai akar-akar 2 dan –5:
x2 – (2 + (–5))x + (2.(–5)) = 0
x2 + 3x – 10 = 0

Contoh 2:
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar PK: x2 – 3x – 1 = 0, susun PK baru yang akar-akarnya 3x1 + 2 dan 3x2 + 2!
Karena PK tersebut tidak dapat difaktorkan,
x1 + x2 = –b/a = –(– 3) /1 = 3
x1.x2 = c/a = –1/1 = –1
Misal akar-akar PK baru adalah y1 dan y2:
y1 + y2 = 3.x1 + 2 + 3.x2 + 2
= 3(x1 + x2) + 4 = 9 + 4 = 13
y1.y2 = (3x1 + 2).(3x2 + 2)
= 9.x1.x2 + 6.x1 + 6.x2 + 4
= 9.(–1) + 6.3 + 4 = –9 + 18 + 4 = 13
Jadi PK barunya:
x2 – (y1 + y2)x + (y1.y2) = 0
x2 – 13x + 13 = 0
 
Soal
Tentukan nilai k agar persamaan² kuadrat berikut memiliki akar kembar

a. x²-2x+k=0
b. 2x²-4x+k=0
c. kx²-6x+1/2=0
d. 3x²-kx+5=0
e. 2kx²+3x+2=0

Jawab
suatu persamaan kuadrat akan memiliki akar kembar jika D = 0
D = b² - 4ac

1.] x² - 2x + k = 0
D = 0
4 - 4 . 1 . k = 0
4 - 4k = 0
4k = 4
k = 1

2.] 2x² - 4x + k = 0
D = 0
16 - 4 . 2 . k = 0
16 - 8k = 0
8k = 16
k = 2

3.] kx² - 6x + 1/2 = 0
36 - 4 . k . 1/2 = 0
36 - 2k = 0
2k = 36
k = 18

4.] 3x² - kx + 5 = 0
D = 0
k² - 4 . 3 . 5 = 0
k² - 60 = 0
k = ± √60

5.] 2kx² + 3x + 2 = 0
D = 0
9 - 4 . 2k . 2 = 0
9 - 16k = 0
16k = 9
k = 9/16
3 Responses
  1. masih binggung saya !!


  2. Terima kasih atas informasinya!! ^^


  3. Kalau x1^3x2 + x2^3x1 itu gimana ya? terimakasih~~