Turunan dan Integral

Turunan fungsi f ‘ (x)  didefinisikan sebagai :

f' (x) = \underset{h\rightarrow 0}{lim}\:\frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Rumus-rumus Turunan :
untuk a = konstanta
  • f(x) = ax^n     maka      f'(x) = an.x^{n-1}
  • f(x) = a  maka   f'(x) = 0
  • f(x) = x         maka   f'(x) = 1

jika  U = u(x) dan V = v(x) adalah suatu fungsi
  • f(x) = U + V  maka   f'(x) = U' + V'
  • f(x) = U - V   maka   f'(x) = U' - V'
  • f(x) = U\times V maka  f'(x) = U'.V + V'.U
  • f(x) = \frac UV maka   f'(x) = \frac {U'.V - V'.U}{V^2}
  • f(x) = U^n maka  f'(x) = n.U^{n-1}.U'    dinamakan aturan rantai

Jangan sampai lupa yah, setiap fungsi yang hendak diturunkan, pastikan dinyatakan dalam bentuk perpangkatan terlebih dulu, let’s cekidot …
Contoh dan pembahasan turunan fungsi:

Tentukan turunan pertama dari :
  1. f(x) = 2x^5
    Jawab :
    \begin{array}{rcl} f'(x) & = & 2.5.x^{5-1}\\ & = & 10x^4\end{array}

  2. f(x) = \frac 3x
    Jawab :
    * nyatakan dalam bentuk pangkat terlebih dulu menjadi f(x) = 3.x^{-1}
    * maka :
    \begin{align*}f'(x) & = & 3.(-1).x^{-1-1}\\ & = & (-3).x^{-2}\\ & = & -\frac{3}{x^2}\end{align*}
  3. f(x) = \sqrt{7x}
    Jawab :
    * nyatakan dalam bentuk pangkat terlebih dulu menjadi f(x) = \sqrt7 .\;x^{\frac{1}{2}}
    * maka :
    \begin{align*}f'(x) & = & \sqrt 7. \frac 12.x^{\frac 12-1}\\ & = & \frac 12. \sqrt 7.x^{-\frac{1}{2}}\\ & = & \frac 12. \sqrt 7. \frac{1}{\sqrt x}\\ & = & \frac{\sqrt 7}{2\sqrt x}.\frac{\sqrt x}{\sqrt x}\\ & = & \frac{\sqrt{7x}}{2x}\end{align*}
  4. f(x) = \frac{3x-2}{x+1}
    Jawab :
    * kita misalkan  \begin{array}{rcl} U=3x-2 & maka & U'=3\\ V=x+1 & maka & V'=1\end{array}
    * maka :
    \begin{align*}f'(x) & = & \frac{U'.V-V'.U}{V^2}\\ & = & \frac{(3)(x+1)-(1)(3x-2)}{(x+1)^2}\\ & = & \frac{3x+3-3x+2}{(x+1)^2}\\ & = & \frac{5}{(x+1)^2}\end{align*}
  5. f(x) = (3x^2 -5)^4
    Jawab :
    * kita misalkan  U = 3x^2 -5\: maka U'=6x dan n = 4
    * lalu kita pakai f'(x) = n.U^{n-1}.U'     ( aturan rantai )

    \begin{align*}f'(x) & = & 4.(3x^2-5)^{4-1}.6x\\ & = & 24x(3x^2-5)^3\end{align*}


 Soal2
1. Fungsi f ditentukan oleh f(x)=\frac{x^2+8x+12}{x+4}\: ;\:x\neq-4 dan f ‘ adalah turunan pertama dari f. Maka nilai dari f ‘(1) = ….
a. x^2+2x+3
b. \frac 12x^2+2x-3
c. \frac 12x^2+2x+3
d. \frac 14x^2+2x-3
e. \frac 12x^2+2x+3
jawab:
f(x)=\frac{x^2+8x+12}{x+4}
\begin{array}{rcl} misalkan:u=x^2+8x+12 & maka & u'=2x+8 \\ v=x+4 & maka & v'=1 \end{array}
\begin{align*} maka f'(x) & = & \frac {u'.v - v'.u}{v^2}\\ & = & \frac {(2x + 8)(x + 4) - (1)(x^2 + 8x + 12)}{(x + 4)^2}\\ & = & \frac {2x^2 + 8x + 8x + 32 - x^2 - 8x - 12}{(x + 4)^2}\\ & = & \frac {x^2 + 8x + 20}{(x + 4)^2}\\ f'(1) & = & \frac {(1)^2+8(1)+20}{(1+4)^2}\\ & = & \frac {29}{25}\:jawaban\;(D)\end{align*}$

2. Turunan pertama fungsi f(x)= \frac{4x-3}{-x-1}\:;\:x\neq-1 adalah f ‘(x) = ….
a. \frac{1}{(-x-1)^2}
b. \frac{5}{(-x-1)^2}
c. \frac{-7}{(-x-1)^2}
d. \frac{1}{(4x-3)^2}
e. \frac{7}{(4x-3)^2}
jawab:
f(x)= \frac{4x-3}{-x-1}
\begin{array}{rcl} misalkan:u=4x-3 & maka & u'=4 \\ v=-x-1 & maka & v'= -1 \end{array}
\begin{align*} maka f'(x) & = & \frac {u'.v - v'.u}{v^2}\\ & = & \frac {(4)(-x-1) - (-1)(4x-3)}{(-x-1)^2}\\ & = & \frac {-4x-4+4x-3}{(-x-1)^2}\\ & = & \frac {-7}{(-x -1)^2}\end{align*}
3. Diketahui f(x)=(3x+4)^4 dan f ‘(x) adalah turunan pertama dari f(x). Maka nilai dari f ‘(-1) = ….
a. 4
b. 12
c. 16
d. 84
e. 112
jawab:
f(x)=(3x+4)^4
misalkan u = 3x + 4   maka u’ = 3   dan   n = 4
gunakan aturan rantai, maka :
\begin{align*}f'(x) & = & n.u^{n-1}. u'\\ & = & 4.(3x + 4)^{4-1}.3\\ & = & 12(3x+4)^3\\ f'(-1) & = & 12(3(-1)+4)^3\\ & = & 12(-3+4)^3\\ & = & 12\:jawaban(B)\end{align*}

4. Turunan pertama fungsi f(x)=x^2-3x+\frac{4}{x^2} adalah f ‘(x) = ….
a. f(x)=x-3+\frac{4}{x^2}
b. f(x)=x-3+\frac{4}{x^3}
c. f(x)=2x-3-\frac{8}{x}
d. f(x)=2x-3-\frac{4}{x^3}
e. f(x)=2x-3-\frac{8}{x^3}
jawab:
f(x)=x^2-3x+\frac{4}{x^2} nyatakan dalam bentuk pangkat
f(x)=x^2-3x+4.x^{-2}
\begin{align*}f'(x) & = & 2x - 3+4(-2).x^{-2-1}\\ & = & 2x-3-8x^{-3}\\ & = & 2x-3-\frac{8}{x^3}\:jawaban(E)\end{align*}
5. Turunan pertama dari f(x)=6x\sqrt x adalah f ‘(x) = …
a.3 \sqrt x
b. 5 \sqrt x
c. 6\sqrt x
d. 9\sqrt x
e. 12\sqrt x
jawab:
f(x)=6x \sqrt x nyatakan dalam bentuk pangkat
f(x)=6x^{\frac 32}
maka :
\begin{align*}f'(x) & = & 6.(\frac 32).x^{\frac 32 -1}\\ & = & 9.x^{\frac 12}\\ & = & 9\sqrt x\:jawaban(D)\end{align*}

  1. Jika g(x)=\left ( 5-3x \right )^{10} maka g ‘(2) =  …. A. -30
    B. -10
    C. 30
    D. 60
    E. 90

    Jawab :
    * misal u=5-3x maka   u'=-3
    n=10
    * kita pakai aturan rantai sehingga :
    \begin{align*}g'(x) & = & {\color{Red} n.u^{n-1}.u'}\\ & = & 10.(5-3x)^{10-1}.(-3)\\ & = & (-30)(5-3x)^9\\g'(2) & = & (-30)(5-3.2)^9\\ & = & (-30)(-1)^9\\ & = & 30 \end{align*}

  2. Jika f(x)=x^3-\frac{x}{x^2-1} maka f ‘(x) = … A. 3x^2+\frac{x^2+1}{(x^2-1)^2}
    B. 3x^2-\frac{x^2-1}{(x^2-1)^2}
    C. x^2+\frac{3x+1}{(x^2-1)^2}
    D. x^2-\frac{3x+1}{(x^2-1)^2}
    E. 3x^2-\frac{3x+1}{(x^2-1)^2}

    Jawab :
    * terdapat dua suku yang harus diturunkan, kita turunkan suku yang pertama secara langsung dan suku yang kedua menggunakan rumus   {\color{Red} y=\frac uv}\;\;\;maka\;\;\;{\color{Red} y'=\frac{u'v-v'u}{v^2}}
    *  perhatikan suku kedua misalkan :
    \begin{array}{lcl}u=x & \Leftrightarrow & u'=1\\v=x^2-1 & \Leftrightarrow & v'=2x \end{array}

    maka
    \begin{align*}f(x) & = & x^3-\frac{x}{x^2-1}\\f'(x) & = & 3x^2-\left [ \frac{u'.v-v'.u}{v^2} \right ]\\ & = & 3x^2-\left [ \frac{1.(x^2-1)-2x(x)}{(x^2-1)^2} \right ]\\ & = & 3x^2-\left [ \frac{x^2-1-2x^2}{(x^2-1)^2} \right ]\\ & = & 3x^2-\left [ \frac{-x^2-1}{(x^2-1)^2} \right ]\\ & = & 3x^2+\frac{x^2+1}{(x^2-1)^2} \end{align*}


  3. Turunan pertama dari    adalah ….. A.   
    B.   
    C.   
    D.   
    E.   

    Jawab :
    * untuk model soal yang seperti ini kita kalikan pembilangnya sehingga menjadi bentuk kuadrat, didapat  y=\frac{x^2+3x+2}{x+3} baru kita gunakan {\color{Red} y=\frac uv}\;\;\;maka\;\;\;{\color{Red} y'=\frac{u'v-v'u}{v^2}}
    * misalkan
    \begin{array}{lcl}u=x^2+3x+2 & \Leftrightarrow & u'=2x+3\\v=x+3 & \Leftrightarrow & v'=1 \end{array}
    * maka :
    \begin{align*}y' & = & \frac{u'.v-v'u}{v^2}\\ & = & \frac{(2x+3)(x+3)-(1)(x^2+3x+2)}{(x+3)^2}\\ & = & \frac{2x^2+9x+9-x^2-3x-2}{(x+3)^2}\\ & = & \frac{x^2+6x+7}{x^2+6x+9} \end{align*}


  4. Diketahui  y=\sqrt{3-4x} maka   \frac{\partial y}{\partial x} = …. A. \frac{1}{2\sqrt{3-4x}}
    B. \frac{1}{\sqrt{3-4x}}
    C. \frac{2}{\sqrt{3-4x}}
    D. \frac{-1}{\sqrt{3-4x}}
    E. \frac{-2}{\sqrt{3-4x}}

    Jawab :
    * nyatakan y dalam bentuk pangkat  menjadi y=\left ( 3-4x \right )^{\frac 12}
    * nah…ingat kita pakai aturan rantai
    \begin{align*}y' & = & n.u^{n-1}.u'\\ & = & \frac 12.(3-4x)^{\frac{1}{2}-1}.(-4)\\ & = & (-2)(3-4x)^{-\frac 12}\\ & = & \frac{-2}{\sqrt{3-4x}}\end{align*}

  5. Jika f(3+2x)=4-2x+x^2 maka  f ‘ (1) =  … A. -4
    B. -2
    C. -1
    D. 0
    E. \frac{1}{2}

    Jawab :
    * masih ingatkah materi komposisi fungsi ….???
    * kita misalkan
    \begin{align*}{\color{Blue} 3+2x} & = & {\color{Blue} y}\\ {\color{Red} x} & = & {\color{Red} \frac{y-3}{2}}\end{align*}
    *subitusikan ke f(3+2x)=4-2x+x^2 menjadi :

    \begin{align*}f({\color{Blue} 3+2x}) & = & 4-2{\color{Red} x}+{\color{Red} x}^2 \\f({\color{Blue} y}) & = & 4-2\left ( {\color{Red} \frac{y-3}{2}} \right )+\left ( {\color{Red} \frac{y-3}{2}} \right )^2\\f(y) & = & 4-y+6+\left ( \frac{y^2-6y+9}{4} \right )\\ & = & \frac{16-4y+12+y^2-6y+9}{4}\\f(y) & = & \frac{y^2-10y+37}{4}\\f(x) & = & \frac 14x^2-\frac{10}{4}x+\frac{37}{4}\end{align*}

    * baru kita turunkan tiap sukunya
    \begin{align*}f(x) & = & \frac 14x^2-\frac{10}{4}x+\frac{37}{4}\\f'(x) & = & \frac 12x^2-\frac{10}{4}\\f'(1) & = & \frac 12-\frac 52\\f'(1) & = & -\frac 42\\ & = & -2\end{align*}



  1. Turunan pertama dari f(x) = 7 cos (5 – 3x) adalah f ‘ (x) =  …..
  2. A.   35 sin (5 – 3x) B.  - 15 sin (5 – 3x) C.  21 sin (5 – 3x) D.  - 21 sin (5 – 3x) E.  - 35 sin (5 – 3x) Jawab :
    * ingat f(x) = {\color{Red} a.cos\:(bx+c)}\;\;\;\;maka \;\;\;\;f'(x)= {\color{Red} -ab.sin\:(bx+c)}
    * maka:
    \begin{align*}f(x) & = & 7 cos (5 - 3x)\\f'(x) & = & -7.(-3).sin(5-3x)\\ & = & 21\;sin(5-3x) \end{align*}
  3. Jika f ‘(x) adalah turunan dari f(x) dan jika f(x) = ( 3x – 2 ) sin (2x + 1) maka f ‘ (x) adalah …
  4. A. 3 cos ( 2x + 1 ) B. 6 cos ( 2x + 1 ) C. 3 sin ( 2x + 1 ) + (6x – 4) cos (2x + 1) D. (6x – 4) sin ( 2x + 1 ) + 3 cos ( 2x + 1 ) E. 3 sin ( 2x + 1) + ( 3x – 2 ) cos( 2x + 1 ) Jawab :
    *  f (x) = {\color{Red} (3x-2)}\;{\color{DarkGreen} sin( 2x + 1 )} kita misalkan terlebih dulu
    \begin{array}{lcl}{\color{Red} u}={\color{Red} 3x-2} & maka & u'=3 \\v={\color{DarkGreen} sin(2x+1)} & maka & v'=2\;cos(2x+1) \end{array}
    * ingat rumus turunan perkalian dua fungsi :
    \begin{array}{rcl}f'(x) & = & u'.v+v'.u\\ & = & 3.{\color{DarkGreen} sin(2x+1)}+2cos(2x+1).({\color{Red} 3x-2})\\ & = & 3\;sin(2x+1)+(6x-4)\;cos(2x+1) \end{array}
  5. Turunan pertama fungsi f (x) = 5 sin x cos x adalah f ‘ (x) = …
  6. A. 5 sin 2x B. 5 cos 2x C. 5 sin2 x cos x D. 5 sin x cos2 x E. 5 sin 2x cos x Jawab :
    * f (x) = {\color{Red} 5\;sin\;x}\;{\color{DarkGreen} cos\;x} kita misalkan terlebih dulu
    \begin{array}{lcl}{\color{Red} u}={\color{Red} 5sin\;x} & maka & u'=5cos\;x\\v={\color{DarkGreen} cos\;x} & maka & v'=-sin\;x \end{array}
    * ingat rumus turunan
    \begin{array}{rcl}f'(x) & = & u'.v+v'.u\\ & = & 5cos\;x.{\color{DarkGreen} cos\;x}+(-sin\;x).({\color{Red} 5sin\;x})\\ & = & 5\;cos^2x-5\;sin^2x\\ & = & 5(cos^2x-sin^2x)\\ & = & 5.cos\;2x \end{array}
    eitttts…..tapi cara yang satu ini lebih simple…kita bisa pakai neh,cekidot…
    * ingat  bahwa  sin\;2x=2\;sin\;x.cos\;x
    * sehingga :
    \begin{align*}f(x) & = & 5\;sin\;x\;cos\;x\\ & = & \frac{5}{2}.{\color{DarkBlue} 2.sin\;x.cos\;x}\\ & = & \frac 52.sin\;2x \end{align*}
    * maka :
    \begin{align*}f'(x) & = & \frac 52.2.cos\;2x\\ & = & 5\;cos\;2x\end{align*}
    Dengan hasil yang sama namun lebih cepat dalam pengerjaannya…silahkan pilih cara yang lebih disukai…
  7. Jikaf(x)=sin^2 \left ( 2x+\frac{\pi}{6} \right ) , maka nilai dari f ‘ (0) = …..
  8. A . 2\sqrt{3} B. 2 C. \sqrt{3} D. 12\sqrt{3} E. \sqrt{2} Jawab :
    * perlu diingat bahwa :
    \begin{align*}f(x) & = & sin^2\left ( 2x+\frac{\pi}{6} \right )\\ & = & \left ( {\color{Red} sin\left ( 2x+\frac{\pi}{6} \right )} \right )^2 \end{align*}
    * nah, baru kita misalkan {\color{Red} u}={\color{Red} sin\left ( 2x+\frac{\pi}{6} \right )}\;\;maka\;\;u'=2\;cos\left ( 2x+\frac{\pi}{6} \right )
    * fungsi menjadi f(x)=u^2 baru pakai aturan rantai  f'(x) & = & n.u^{n-1}.u'
    \begin{align*}f'(x) & = & 2.u.u'\\ & = & 2.{\color{Red} sin\left ( 2x+\frac{\pi}{6} \right )}.2cos\left ( 2x+\frac{\pi}{6} \right )\\f'(0) & = & 4.sin\left ( 2.0+\frac{\pi}{6} \right ).cos\left ( 2.0+\frac{\pi}{6} \right )\\ & = & 4.sin\left ( \frac{\pi}{6} \right ).cos\left ( \frac{\pi}{6} \right )\\ & = & 4.\frac 12.\frac 12\sqrt3\\ & = & \sqrt3\end{align*}
  9. Turunan pertama dari f(x)=sin^4(3-2x) adalah  f  ’ (x) =……
  10. A.   - 8\;sin^3(3-2x)\;cos(6-4x) B.   –  8\;sin(3-2x)\;sin(6-4x) C.   - 4\;sin^3(3-2x)\;cos(3-2x) D.   - 4\;sin^2(3-2x)\;sin(6-4x) E.    -  8\;sin(3-2x)\;sin(6-4x) Jawab :
    * pengerjaannya hampir sama dengan soal no.4 kita misalkan terlebih dulu
    u={\color{Red} sin(3-2x)}\;\;\;maka\;\;\;\;u'=-2.cos(3-2x)
    * didapat f(x)=u^4 kita pakai aturan rantai  f'(x)=n.u^{n-1}.u' maka  :
    \begin{align*}f'(x) & = & 4.u^3.u'\\ & = & 4.{\color{Red} sin}^3{\color{Red} (3-2x)}.(-2)cos(3-2x)\\ & = & -8.sin^3(3-2x).cos(3-2x) \end{align*}
    ups….saat kita cek di pilgan ternyata jawaban  tersebut tidak ada pilihannya, so lanjut ke next step ….
    * ingat  bahwa   {\color{DarkBlue} 2.sin\;x.cos\;x}={\color{DarkBlue} sin\;2x}
    \begin{align*}f'(x) & = &-8.sin^3(3-2x).cos(3-2x)\\ & = & -4.{\color{DarkBlue} 2.sin(3-2x).cos(3-2x)}.sin^2(3-2x)\\ & = & -4.{\color{DarkBlue} sin\;2(3-2x)}.sin^2(3-2x)\\ & = & -4.sin(6-4x).sin^2(3-2x)\\ & = & -4\;sin^2(3-2x)\;sin(3-4x) \end{align*}
taraaaaa…..selesai sudah latihan soal dan pembahasan turunan trigonometri kita…
semoga bermanfaat yah….
5 Responses
  1. Ferdi Ferdi Says:

    bermanfaat skli gan thank u


  2. sangat bermanfaat
    makasi ^_^



  3. djaman man Says:

    Rumus2 dasar ini sangat membantu dan mmengingatkan kmbali dan menjadi penyegaran bagiku dan terima kasih untuk smuanaya.


  4. 1000merpati Says:

    terima kasih.. :)