Turunan dan Integral

Turunan fungsi f ‘ (x)  didefinisikan sebagai :

f' (x) = \underset{h\rightarrow 0}{lim}\:\frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Rumus-rumus Turunan :
untuk a = konstanta
  • f(x) = ax^n     maka      f'(x) = an.x^{n-1}
  • f(x) = a  maka   f'(x) = 0
  • f(x) = x         maka   f'(x) = 1

jika  U = u(x) dan V = v(x) adalah suatu fungsi
  • f(x) = U + V  maka   f'(x) = U' + V'
  • f(x) = U - V   maka   f'(x) = U' - V'
  • f(x) = U\times V maka  f'(x) = U'.V + V'.U
  • f(x) = \frac UV maka   f'(x) = \frac {U'.V - V'.U}{V^2}
  • f(x) = U^n maka  f'(x) = n.U^{n-1}.U'    dinamakan aturan rantai

Jangan sampai lupa yah, setiap fungsi yang hendak diturunkan, pastikan dinyatakan dalam bentuk perpangkatan terlebih dulu, let’s cekidot …
Contoh dan pembahasan turunan fungsi:

Tentukan turunan pertama dari :
  1. f(x) = 2x^5
    Jawab :
    \begin{array}{rcl} f'(x) & = & 2.5.x^{5-1}\\ & = & 10x^4\end{array}

  2. f(x) = \frac 3x
    Jawab :
    * nyatakan dalam bentuk pangkat terlebih dulu menjadi f(x) = 3.x^{-1}
    * maka :
    \begin{align*}f'(x) & = & 3.(-1).x^{-1-1}\\ & = & (-3).x^{-2}\\ & = & -\frac{3}{x^2}\end{align*}
  3. f(x) = \sqrt{7x}
    Jawab :
    * nyatakan dalam bentuk pangkat terlebih dulu menjadi f(x) = \sqrt7 .\;x^{\frac{1}{2}}
    * maka :
    \begin{align*}f'(x) & = & \sqrt 7. \frac 12.x^{\frac 12-1}\\ & = & \frac 12. \sqrt 7.x^{-\frac{1}{2}}\\ & = & \frac 12. \sqrt 7. \frac{1}{\sqrt x}\\ & = & \frac{\sqrt 7}{2\sqrt x}.\frac{\sqrt x}{\sqrt x}\\ & = & \frac{\sqrt{7x}}{2x}\end{align*}
  4. f(x) = \frac{3x-2}{x+1}
    Jawab :
    * kita misalkan  \begin{array}{rcl} U=3x-2 & maka & U'=3\\ V=x+1 & maka & V'=1\end{array}
    * maka :
    \begin{align*}f'(x) & = & \frac{U'.V-V'.U}{V^2}\\ & = & \frac{(3)(x+1)-(1)(3x-2)}{(x+1)^2}\\ & = & \frac{3x+3-3x+2}{(x+1)^2}\\ & = & \frac{5}{(x+1)^2}\end{align*}
  5. f(x) = (3x^2 -5)^4
    Jawab :
    * kita misalkan  U = 3x^2 -5\: maka U'=6x dan n = 4
    * lalu kita pakai f'(x) = n.U^{n-1}.U'     ( aturan rantai )

    \begin{align*}f'(x) & = & 4.(3x^2-5)^{4-1}.6x\\ & = & 24x(3x^2-5)^3\end{align*}


 Soal2
1. Fungsi f ditentukan oleh f(x)=\frac{x^2+8x+12}{x+4}\: ;\:x\neq-4 dan f ‘ adalah turunan pertama dari f. Maka nilai dari f ‘(1) = ….
a. x^2+2x+3
b. \frac 12x^2+2x-3
c. \frac 12x^2+2x+3
d. \frac 14x^2+2x-3
e. \frac 12x^2+2x+3
jawab:
f(x)=\frac{x^2+8x+12}{x+4}
\begin{array}{rcl} misalkan:u=x^2+8x+12 & maka & u'=2x+8 \\ v=x+4 & maka & v'=1 \end{array}
\begin{align*} maka f'(x) & = & \frac {u'.v - v'.u}{v^2}\\ & = & \frac {(2x + 8)(x + 4) - (1)(x^2 + 8x + 12)}{(x + 4)^2}\\ & = & \frac {2x^2 + 8x + 8x + 32 - x^2 - 8x - 12}{(x + 4)^2}\\ & = & \frac {x^2 + 8x + 20}{(x + 4)^2}\\ f'(1) & = & \frac {(1)^2+8(1)+20}{(1+4)^2}\\ & = & \frac {29}{25}\:jawaban\;(D)\end{align*}$

2. Turunan pertama fungsi f(x)= \frac{4x-3}{-x-1}\:;\:x\neq-1 adalah f ‘(x) = ….
a. \frac{1}{(-x-1)^2}
b. \frac{5}{(-x-1)^2}
c. \frac{-7}{(-x-1)^2}
d. \frac{1}{(4x-3)^2}
e. \frac{7}{(4x-3)^2}
jawab:
f(x)= \frac{4x-3}{-x-1}
\begin{array}{rcl} misalkan:u=4x-3 & maka & u'=4 \\ v=-x-1 & maka & v'= -1 \end{array}
\begin{align*} maka f'(x) & = & \frac {u'.v - v'.u}{v^2}\\ & = & \frac {(4)(-x-1) - (-1)(4x-3)}{(-x-1)^2}\\ & = & \frac {-4x-4+4x-3}{(-x-1)^2}\\ & = & \frac {-7}{(-x -1)^2}\end{align*}
3. Diketahui f(x)=(3x+4)^4 dan f ‘(x) adalah turunan pertama dari f(x). Maka nilai dari f ‘(-1) = ….
a. 4
b. 12
c. 16
d. 84
e. 112
jawab:
f(x)=(3x+4)^4
misalkan u = 3x + 4   maka u’ = 3   dan   n = 4
gunakan aturan rantai, maka :
\begin{align*}f'(x) & = & n.u^{n-1}. u'\\ & = & 4.(3x + 4)^{4-1}.3\\ & = & 12(3x+4)^3\\ f'(-1) & = & 12(3(-1)+4)^3\\ & = & 12(-3+4)^3\\ & = & 12\:jawaban(B)\end{align*}

4. Turunan pertama fungsi f(x)=x^2-3x+\frac{4}{x^2} adalah f ‘(x) = ….
a. f(x)=x-3+\frac{4}{x^2}
b. f(x)=x-3+\frac{4}{x^3}
c. f(x)=2x-3-\frac{8}{x}
d. f(x)=2x-3-\frac{4}{x^3}
e. f(x)=2x-3-\frac{8}{x^3}
jawab:
f(x)=x^2-3x+\frac{4}{x^2} nyatakan dalam bentuk pangkat
f(x)=x^2-3x+4.x^{-2}
\begin{align*}f'(x) & = & 2x - 3+4(-2).x^{-2-1}\\ & = & 2x-3-8x^{-3}\\ & = & 2x-3-\frac{8}{x^3}\:jawaban(E)\end{align*}
5. Turunan pertama dari f(x)=6x\sqrt x adalah f ‘(x) = …
a.3 \sqrt x
b. 5 \sqrt x
c. 6\sqrt x
d. 9\sqrt x
e. 12\sqrt x
jawab:
f(x)=6x \sqrt x nyatakan dalam bentuk pangkat
f(x)=6x^{\frac 32}
maka :
\begin{align*}f'(x) & = & 6.(\frac 32).x^{\frac 32 -1}\\ & = & 9.x^{\frac 12}\\ & = & 9\sqrt x\:jawaban(D)\end{align*}

  1. Jika g(x)=\left ( 5-3x \right )^{10} maka g ‘(2) =  …. A. -30
    B. -10
    C. 30
    D. 60
    E. 90

    Jawab :
    * misal u=5-3x maka   u'=-3
    n=10
    * kita pakai aturan rantai sehingga :
    \begin{align*}g'(x) & = & {\color{Red} n.u^{n-1}.u'}\\ & = & 10.(5-3x)^{10-1}.(-3)\\ & = & (-30)(5-3x)^9\\g'(2) & = & (-30)(5-3.2)^9\\ & = & (-30)(-1)^9\\ & = & 30 \end{align*}

  2. Jika f(x)=x^3-\frac{x}{x^2-1} maka f ‘(x) = … A. 3x^2+\frac{x^2+1}{(x^2-1)^2}
    B. 3x^2-\frac{x^2-1}{(x^2-1)^2}
    C. x^2+\frac{3x+1}{(x^2-1)^2}
    D. x^2-\frac{3x+1}{(x^2-1)^2}
    E. 3x^2-\frac{3x+1}{(x^2-1)^2}

    Jawab :
    * terdapat dua suku yang harus diturunkan, kita turunkan suku yang pertama secara langsung dan suku yang kedua menggunakan rumus   {\color{Red} y=\frac uv}\;\;\;maka\;\;\;{\color{Red} y'=\frac{u'v-v'u}{v^2}}
    *  perhatikan suku kedua misalkan :
    \begin{array}{lcl}u=x & \Leftrightarrow & u'=1\\v=x^2-1 & \Leftrightarrow & v'=2x \end{array}

    maka
    \begin{align*}f(x) & = & x^3-\frac{x}{x^2-1}\\f'(x) & = & 3x^2-\left [ \frac{u'.v-v'.u}{v^2} \right ]\\ & = & 3x^2-\left [ \frac{1.(x^2-1)-2x(x)}{(x^2-1)^2} \right ]\\ & = & 3x^2-\left [ \frac{x^2-1-2x^2}{(x^2-1)^2} \right ]\\ & = & 3x^2-\left [ \frac{-x^2-1}{(x^2-1)^2} \right ]\\ & = & 3x^2+\frac{x^2+1}{(x^2-1)^2} \end{align*}


  3. Turunan pertama dari    adalah ….. A.   
    B.   
    C.   
    D.   
    E.   

    Jawab :
    * untuk model soal yang seperti ini kita kalikan pembilangnya sehingga menjadi bentuk kuadrat, didapat  y=\frac{x^2+3x+2}{x+3} baru kita gunakan {\color{Red} y=\frac uv}\;\;\;maka\;\;\;{\color{Red} y'=\frac{u'v-v'u}{v^2}}
    * misalkan
    \begin{array}{lcl}u=x^2+3x+2 & \Leftrightarrow & u'=2x+3\\v=x+3 & \Leftrightarrow & v'=1 \end{array}
    * maka :
    \begin{align*}y' & = & \frac{u'.v-v'u}{v^2}\\ & = & \frac{(2x+3)(x+3)-(1)(x^2+3x+2)}{(x+3)^2}\\ & = & \frac{2x^2+9x+9-x^2-3x-2}{(x+3)^2}\\ & = & \frac{x^2+6x+7}{x^2+6x+9} \end{align*}


  4. Diketahui  y=\sqrt{3-4x} maka   \frac{\partial y}{\partial x} = …. A. \frac{1}{2\sqrt{3-4x}}
    B. \frac{1}{\sqrt{3-4x}}
    C. \frac{2}{\sqrt{3-4x}}
    D. \frac{-1}{\sqrt{3-4x}}
    E. \frac{-2}{\sqrt{3-4x}}

    Jawab :
    * nyatakan y dalam bentuk pangkat  menjadi y=\left ( 3-4x \right )^{\frac 12}
    * nah…ingat kita pakai aturan rantai
    \begin{align*}y' & = & n.u^{n-1}.u'\\ & = & \frac 12.(3-4x)^{\frac{1}{2}-1}.(-4)\\ & = & (-2)(3-4x)^{-\frac 12}\\ & = & \frac{-2}{\sqrt{3-4x}}\end{align*}

  5. Jika f(3+2x)=4-2x+x^2 maka  f ‘ (1) =  … A. -4
    B. -2
    C. -1
    D. 0
    E. \frac{1}{2}

    Jawab :
    * masih ingatkah materi komposisi fungsi ….???
    * kita misalkan
    \begin{align*}{\color{Blue} 3+2x} & = & {\color{Blue} y}\\ {\color{Red} x} & = & {\color{Red} \frac{y-3}{2}}\end{align*}
    *subitusikan ke f(3+2x)=4-2x+x^2 menjadi :

    \begin{align*}f({\color{Blue} 3+2x}) & = & 4-2{\color{Red} x}+{\color{Red} x}^2 \\f({\color{Blue} y}) & = & 4-2\left ( {\color{Red} \frac{y-3}{2}} \right )+\left ( {\color{Red} \frac{y-3}{2}} \right )^2\\f(y) & = & 4-y+6+\left ( \frac{y^2-6y+9}{4} \right )\\ & = & \frac{16-4y+12+y^2-6y+9}{4}\\f(y) & = & \frac{y^2-10y+37}{4}\\f(x) & = & \frac 14x^2-\frac{10}{4}x+\frac{37}{4}\end{align*}

    * baru kita turunkan tiap sukunya
    \begin{align*}f(x) & = & \frac 14x^2-\frac{10}{4}x+\frac{37}{4}\\f'(x) & = & \frac 12x^2-\frac{10}{4}\\f'(1) & = & \frac 12-\frac 52\\f'(1) & = & -\frac 42\\ & = & -2\end{align*}



  1. Turunan pertama dari f(x) = 7 cos (5 – 3x) adalah f ‘ (x) =  …..
  2. A.   35 sin (5 – 3x) B.  - 15 sin (5 – 3x) C.  21 sin (5 – 3x) D.  - 21 sin (5 – 3x) E.  - 35 sin (5 – 3x) Jawab :
    * ingat f(x) = {\color{Red} a.cos\:(bx+c)}\;\;\;\;maka \;\;\;\;f'(x)= {\color{Red} -ab.sin\:(bx+c)}
    * maka:
    \begin{align*}f(x) & = & 7 cos (5 - 3x)\\f'(x) & = & -7.(-3).sin(5-3x)\\ & = & 21\;sin(5-3x) \end{align*}
  3. Jika f ‘(x) adalah turunan dari f(x) dan jika f(x) = ( 3x – 2 ) sin (2x + 1) maka f ‘ (x) adalah …
  4. A. 3 cos ( 2x + 1 ) B. 6 cos ( 2x + 1 ) C. 3 sin ( 2x + 1 ) + (6x – 4) cos (2x + 1) D. (6x – 4) sin ( 2x + 1 ) + 3 cos ( 2x + 1 ) E. 3 sin ( 2x + 1) + ( 3x – 2 ) cos( 2x + 1 ) Jawab :
    *  f (x) = {\color{Red} (3x-2)}\;{\color{DarkGreen} sin( 2x + 1 )} kita misalkan terlebih dulu
    \begin{array}{lcl}{\color{Red} u}={\color{Red} 3x-2} & maka & u'=3 \\v={\color{DarkGreen} sin(2x+1)} & maka & v'=2\;cos(2x+1) \end{array}
    * ingat rumus turunan perkalian dua fungsi :
    \begin{array}{rcl}f'(x) & = & u'.v+v'.u\\ & = & 3.{\color{DarkGreen} sin(2x+1)}+2cos(2x+1).({\color{Red} 3x-2})\\ & = & 3\;sin(2x+1)+(6x-4)\;cos(2x+1) \end{array}
  5. Turunan pertama fungsi f (x) = 5 sin x cos x adalah f ‘ (x) = …
  6. A. 5 sin 2x B. 5 cos 2x C. 5 sin2 x cos x D. 5 sin x cos2 x E. 5 sin 2x cos x Jawab :
    * f (x) = {\color{Red} 5\;sin\;x}\;{\color{DarkGreen} cos\;x} kita misalkan terlebih dulu
    \begin{array}{lcl}{\color{Red} u}={\color{Red} 5sin\;x} & maka & u'=5cos\;x\\v={\color{DarkGreen} cos\;x} & maka & v'=-sin\;x \end{array}
    * ingat rumus turunan
    \begin{array}{rcl}f'(x) & = & u'.v+v'.u\\ & = & 5cos\;x.{\color{DarkGreen} cos\;x}+(-sin\;x).({\color{Red} 5sin\;x})\\ & = & 5\;cos^2x-5\;sin^2x\\ & = & 5(cos^2x-sin^2x)\\ & = & 5.cos\;2x \end{array}
    eitttts…..tapi cara yang satu ini lebih simple…kita bisa pakai neh,cekidot…
    * ingat  bahwa  sin\;2x=2\;sin\;x.cos\;x
    * sehingga :
    \begin{align*}f(x) & = & 5\;sin\;x\;cos\;x\\ & = & \frac{5}{2}.{\color{DarkBlue} 2.sin\;x.cos\;x}\\ & = & \frac 52.sin\;2x \end{align*}
    * maka :
    \begin{align*}f'(x) & = & \frac 52.2.cos\;2x\\ & = & 5\;cos\;2x\end{align*}
    Dengan hasil yang sama namun lebih cepat dalam pengerjaannya…silahkan pilih cara yang lebih disukai…
  7. Jikaf(x)=sin^2 \left ( 2x+\frac{\pi}{6} \right ) , maka nilai dari f ‘ (0) = …..
  8. A . 2\sqrt{3} B. 2 C. \sqrt{3} D. 12\sqrt{3} E. \sqrt{2} Jawab :
    * perlu diingat bahwa :
    \begin{align*}f(x) & = & sin^2\left ( 2x+\frac{\pi}{6} \right )\\ & = & \left ( {\color{Red} sin\left ( 2x+\frac{\pi}{6} \right )} \right )^2 \end{align*}
    * nah, baru kita misalkan {\color{Red} u}={\color{Red} sin\left ( 2x+\frac{\pi}{6} \right )}\;\;maka\;\;u'=2\;cos\left ( 2x+\frac{\pi}{6} \right )
    * fungsi menjadi f(x)=u^2 baru pakai aturan rantai  f'(x) & = & n.u^{n-1}.u'
    \begin{align*}f'(x) & = & 2.u.u'\\ & = & 2.{\color{Red} sin\left ( 2x+\frac{\pi}{6} \right )}.2cos\left ( 2x+\frac{\pi}{6} \right )\\f'(0) & = & 4.sin\left ( 2.0+\frac{\pi}{6} \right ).cos\left ( 2.0+\frac{\pi}{6} \right )\\ & = & 4.sin\left ( \frac{\pi}{6} \right ).cos\left ( \frac{\pi}{6} \right )\\ & = & 4.\frac 12.\frac 12\sqrt3\\ & = & \sqrt3\end{align*}
  9. Turunan pertama dari f(x)=sin^4(3-2x) adalah  f  ’ (x) =……
  10. A.   - 8\;sin^3(3-2x)\;cos(6-4x) B.   –  8\;sin(3-2x)\;sin(6-4x) C.   - 4\;sin^3(3-2x)\;cos(3-2x) D.   - 4\;sin^2(3-2x)\;sin(6-4x) E.    -  8\;sin(3-2x)\;sin(6-4x) Jawab :
    * pengerjaannya hampir sama dengan soal no.4 kita misalkan terlebih dulu
    u={\color{Red} sin(3-2x)}\;\;\;maka\;\;\;\;u'=-2.cos(3-2x)
    * didapat f(x)=u^4 kita pakai aturan rantai  f'(x)=n.u^{n-1}.u' maka  :
    \begin{align*}f'(x) & = & 4.u^3.u'\\ & = & 4.{\color{Red} sin}^3{\color{Red} (3-2x)}.(-2)cos(3-2x)\\ & = & -8.sin^3(3-2x).cos(3-2x) \end{align*}
    ups….saat kita cek di pilgan ternyata jawaban  tersebut tidak ada pilihannya, so lanjut ke next step ….
    * ingat  bahwa   {\color{DarkBlue} 2.sin\;x.cos\;x}={\color{DarkBlue} sin\;2x}
    \begin{align*}f'(x) & = &-8.sin^3(3-2x).cos(3-2x)\\ & = & -4.{\color{DarkBlue} 2.sin(3-2x).cos(3-2x)}.sin^2(3-2x)\\ & = & -4.{\color{DarkBlue} sin\;2(3-2x)}.sin^2(3-2x)\\ & = & -4.sin(6-4x).sin^2(3-2x)\\ & = & -4\;sin^2(3-2x)\;sin(3-4x) \end{align*}
taraaaaa…..selesai sudah latihan soal dan pembahasan turunan trigonometri kita…
semoga bermanfaat yah….
10 Responses
  1. Ferdi Ferdi Says:

    bermanfaat skli gan thank u


  2. sangat bermanfaat
    makasi ^_^



  3. djaman man Says:

    Rumus2 dasar ini sangat membantu dan mmengingatkan kmbali dan menjadi penyegaran bagiku dan terima kasih untuk smuanaya.


  4. 1000merpati Says:

    terima kasih.. :)


  5. Makasih bgt bro info nya, sangat bermanfaat buat saya. hehe
    Jangan Lupa mampir ke blog Lowongan Kerja Terbaru ane ya Lowongan BANK


  6. theguh indo Says:

    soal 2 no 1 salah deh sepertinya, coba cek kebali, bagian perkalian U' x V


  7. Dh Ila Says:

    kamu copy paste yak? ada yg salah tuh!


  8. Asian Logs Says:

    Walaupun ada yang salah tp kalo bwt saya, dengan membaca sekilas udah ngerti koq hehehe. THANKS YA GAN.... MEMBANTU SAAT GW UAS....

    nih sebagai imbalan ya gan... kalo mau refreshing untuk nonton film atau main game download aja ya... di www.albertus-cp.blogspot.com


  9. Rizal Says:

    thank gans